a) \(\sqrt{9a^4}=\sqrt{\left(3a^2\right)^2}=\left|3a^2\right|=3a^2\)

b) \(2\sqrt{a^2}-5a=2\left|a\right|-5a=-2a-5a=-7a\)

c) \(\sqrt{16\left(1+4x+4x^2\right)}=\sqrt{\left[4\left(1+2x\right)\right]^2}=\left|4\left(1+2x\right)\right|=4\left(1+2x\right)\)

Ta có \(\left(\sqrt{a}+2\right)\left(1-\sqrt{a}\right)=a+\sqrt{a}-2\)

\(=\frac{3\text{a}+3\sqrt{a}-3}{a+\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}-\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}-1}\)

\(=\frac{3\text{a}+3\sqrt{a}-3-a+1+a-4}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

\(=\frac{3\text{a}+3\sqrt{a}-6}{a+\sqrt{a}-2}\)

\(=\frac{3\left(a+\sqrt{a}-2\right)}{a+\sqrt{a}-2}\)

\(=3\)

b/ Ta có 3 là số nguyên nên biểu thức P luôn nguyên với mọi x

TICK CHO MÌNH NHA

a) ĐKXĐ:\(x\ge\frac{1}{3};x\ne1\)

b)\(P=\frac{3a+\sqrt{9a-3}-a+4+\sqrt{a}-1-a-\sqrt{a}+2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}=\frac{a+6+\sqrt{9a-3}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}\)

Bài 1

a) \(P=\frac{3a+\sqrt{9a}-3}{a+\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}+\frac{\sqrt{a}-2}{1-\sqrt{a}}\)    (ĐK : x\(\ge0\) ; x\(\ne\) 1)

        \(=\frac{3a+\sqrt{9a}-3}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}-\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}-\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}-1}\)

         \(=\frac{3a+\sqrt{9a}-3-\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)-\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

         \(=\frac{3a+\sqrt{9a}-3-a+1-a+4}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

         \(=\frac{a+3\sqrt{a}+2}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

         \(=\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

         \(=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\)

b) \(P=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}=\frac{\sqrt{a}-1+2}{\sqrt{a}-1}=1+\frac{2}{\sqrt{a}-1}\)

Vậy để P là số nguyên thì: \(\sqrt{a}-1\inƯ\left(2\right)\)

Mà Ư(2)={-1;1;2;-1}

=> \(\sqrt{a}-1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

Ta có bảng sau:

vậy a={0;4;9} thì P nguyên

Bài 2

  \(P=\frac{\sqrt{a+4\sqrt{a-4}}+\sqrt{a-4\sqrt{a-4}}}{\sqrt{1-\frac{8}{a}+\frac{16}{a^2}}}\)(ĐK:a\(\ge\)8)

      \(=\frac{\sqrt{\left(a-4\right)+4\sqrt{a-4}+4}+\sqrt{\left(a-4\right)-4\sqrt{a-4}+4}}{\sqrt{\left(1-\frac{4}{a}\right)^2}}\)

     \(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{a-4}+2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{a-4}-2\right)^2}}{1-\frac{4}{a}}\)

      \(=\sqrt{a-4}+2+\sqrt{a-4}-2:\frac{a-4}{a}\)

     \(=2\sqrt{a-4}\cdot\frac{a}{a-4}\)

     \(=\frac{2a}{\sqrt{a-4}}\)

\(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}a\ge0\\a\ne\frac{1}{9}\end{cases}}\)

\(P=\left(\frac{\sqrt{a}-1}{3\sqrt{a}-1}-\frac{1}{1+3\sqrt{a}}+\frac{8\sqrt{a}}{9a-1}\right)\div\left(1-\frac{3\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}+1}\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(1+3\sqrt{a}\right)-3\sqrt{a}+1+8\sqrt{a}}{9a-1}:\frac{3\sqrt{a}+1-3\sqrt{a}+2}{3\sqrt{a}+1}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{\sqrt{a}+3a-1-3\sqrt{a}-3\sqrt{a}+1+8\sqrt{a}}{\left(3\sqrt{a}-1\right)\left(3\sqrt{a}+1\right)}:\frac{3}{3\sqrt{a}+1}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{\left(3a+3\sqrt{a}\right)\left(3\sqrt{a}+1\right)}{3\left(3\sqrt{a}-1\right)\left(3\sqrt{a}+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{a+\sqrt{a}}{3\sqrt{a}-1}\)

ĐK \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\a\ne1\end{cases}}\)

a. Ta có \(P=\frac{3a+3\sqrt{a}-3}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}-\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}-1}+\frac{1}{\sqrt{a}+2}-1\)

\(=\frac{3a+3\sqrt{a}-3-\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)+\sqrt{a}-1-a-\sqrt{a}+2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}\)

\(=\frac{3a+3\sqrt{a}-3-a+4+\sqrt{a}-1-a-\sqrt{a}+2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}=\frac{a+3\sqrt{a}+2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}=\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

b. Để \(\left|P\right|=2\Rightarrow\orbr{\begin{cases}P=2\\P=-2\end{cases}}\)

Với \(P=2\Rightarrow\sqrt{a}+1=2\sqrt{a}-2\Rightarrow\sqrt{a}=3\Rightarrow a=9\)

Với \(P=-2\Rightarrow\sqrt{a}+1=2-2\sqrt{a}\Rightarrow\sqrt{a}=\frac{1}{3}\Rightarrow a=\frac{1}{9}\)

c. Ta có \(P=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}=1+\frac{2}{\sqrt{a}-1}\)

Để \(P\in N\Rightarrow P\in Z\Rightarrow\sqrt{a}-1\in\left\{-2;-1;1;2\right\}\)

Vậy \(x\in\left\{0;4;9\right\}\)thì \(P\in N\)